-->

Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

January 17, 2022

Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Admin No comments

Trigonometri sangat erat kaitannya dengan sudut segitiga, karena asal kata trigonometri sendiri yang berarti mengukur tiga sudut (berasal dari kata Yunani, trigonon: tiga sudut dan metro: mengukur). Jika berbicara mengenai trigonometri tidak akan bisa lepas dari sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.


Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut pad aSegitiga Siku-Siku

Segitiga siku-siku yaitu segitiga dengan salah satu sudutnya adalah 90^{o}. Dalam segitiga siku-siku terdapat sisi miring yang disebut hipotenusa. Kuadrat hipotenusa yaitu jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya. Secara sistematis, teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut.

\large a^{2} + b^{2} = c^{2}

dengan a dan b adalah sisi siku-siku dan c adalah sisi miringnya. Untuk lebih jelasnya maka perhatikan gambar berikut.

  • Perbandingan Sinus (sin), Cosinus (cos), Tangen (tan), Cosecan (scs), Secan (sec), dan Cotangen (cot).

Untuk mengetahui rasio trigonometri, kita menggunakan segitiga siku-siku. Untuk itu, kita harus mengetahui letak sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

  • Sisi Miring adalah sisi di depan sudut siku-siku.
  • Sisi Depan adalah sisi di depan sudut α.
  • Sisi Samping adalah sisi siku-siku lainnya.

 

Setelah mengetahui sisi miring, sisi depan, dan sisi samping, selanjutnya kita akan membahas definisi sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.

  1. \LARGE sin \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{BC}{AC}
  2. \LARGE cos \ \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{AB}{AC}
  3. \LARGE tan \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{BC}{AB}
  4. \LARGE cosec \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{BC}
  5. \LARGE secan \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}
  6. \LARGE cotan \: \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}

Contoh:

Tentukan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut Q dan R pada segitaga berikut.

Jawab:

\large PQ = \sqrt{QR^{2}-PR^{2}}

 

\large PQ = \sqrt{2^{2}-1^{2}}

 

\large PQ = \sqrt{4-1}

 

\large PQ = \sqrt{3}

 

 

 

 

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Sudut istimewa meliputi \large 0^{o},\large 30^{o},  \large 45^{o}, \large 60^{o}, \large 90^{o}, dan sudut istimewa lainnya pada kuadran II, III, dan IV. Sudut istimewa dihasilkan dengan menggunakan teori geometri. Untuk mencari sudut istimewa dapat digunakan beberapa bidang datar untuk mencara nilai sudut istimewa tersebut.

  1. Sudut 30dan 60

Untuk mencari nilai perbandingan sudut 30^{o} kita menggunakan segitiga sama sisi.

Segitiga sama sisi memiliki sisi-sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar. Sudut-sudut segitiga sama sisi masing-masing adalah 60^{o}.

Segitiga sama sisi ABC memiliki panjang sisi-sisinya adalah 2x satuan. Titik D adalah titik tengah AB, sehingga jika ditarik garis dari titik C ke titik D akan membagi segitiga sama sisi tersebut menjadi segitiga sama sisi, dengan sudut siku-siku di D.

Karena titik D merupakan titik tengah, maka panjang AD =BD = \frac{1}{2} AC = x

maka diperoleh:

\bigtriangleup ACD \cong \bigtriangleup BCD \angle ACD \cong \angle BCD = 30^{o}

Sehingga \bigtriangleup ACD adalah segitiga siku-siku dengan\angle D  adalah sudut siku-siku.Dengan menggunakan teorema phytagoras, maka dapat ditentukan panjang sisi CD

CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}

 

CD^{2}=2x^{2}-x^{2}

 

CD^{2}=4x^{2}-x^{2}

 

CD^{2}=3x^{2}

 

CD=\sqrt{3x^{2}}

 

CD=\sqrt{3}\, x

1. Untuk \angle ACD = 30^{o}

  1. sin \: 30^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}
  2. cos \: 30^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}
  3. tan \: 30^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}
  4. cosec \: 30^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2
  5. secan \: 30^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}
  6. cotan \: 30^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}

2. Untuk \angle CAD = 60^{o}

  1. sin \: 60^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3} 
    cos \: 60^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}
  2. tan\: 60^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}
  3. cosec \: 60^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}
  4. secan \: 60^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2
  5. cotan \: 60^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}

 

  1. Sudut 45

Untuk mencari perbandingan sudut pada sudut 45, maka kita menggunakan persegi.

Pada persegi di atas, jika dibuat garis diagonal dari titik A ke titik C akan membentuk segitiga siku-siku yang memiliki dua sisi yang sama.

Perhatikan segitiga ABC. AB =BC=x,\: \angle A=\angle C= 45^{o} dan \angle B= 90^{o}. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka:

AC^{2}= AB^{2} + BC^{2}

 

AC^{2}= x^{2} + x^{2}

 

AC^{2}= 2x^{2}

 

AC= \sqrt{2x^{2}}

 

AC=2\sqrt{2}

 

  1. sin\: 45^{o} = \frac{BC}{AC}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}
  2. cos\: 45^{o} = \frac{AB}{AC}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}
  3. tan\: 45^{o} = \frac{BC}{AB}=\frac{x}{x}=1
  4. cosec\: 45^{o} = \frac{AC}{BC}=\frac{x\sqrt{2}}{x}=\sqrt{2}
  5. secan\: 45^{o} = \frac{AC}{AB}=\frac{x\sqrt{2}}{x}=\sqrt{2}
  6. cotan\: 45^{o} = \frac{AB}{BC}=\frac{x}{x}=1

Tabel 1 Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

0^{o}30^{o}45^{o}60^{o}90^{o}
sin\: \alpha0\frac{1}{2}\frac{1}{2}\sqrt{2}\frac{1}{2}\sqrt{3}1
cos\: \alpha1\frac{1}{2}\sqrt{3}\frac{1}{2}\sqrt{2}\frac{1}{2}0
tan\: \alpha0\frac{1}{3}\sqrt{3}1\sqrt{3}–
csc\: \alpha–2\sqrt{2}\frac{2}{3}\sqrt{3}1
sec\: \alpha1\frac{2}{3}\sqrt{3}\sqrt{2}2–
cotan\: \alpha–\sqrt{3}1\frac{1}{3}\sqrt{3}0

 

Contoh:

Hitunglah:

  • \frac{sin\: 30^{o}\times cos\: 60^{o}}{csc\: 45^{o}}

 

  • \frac{2\left ( cos\: 60^{o} \right )^{2}+4(sec\: 30^{o})^{2}-(tan\: 45^{o})^{2}} {\left ( sin \: 30^{o} \right )^{2}+(cos\: 30^{o})^{2}}

Jawab:

  • \frac{sin\: 30^{o}\times cos\: 60^{o}}{csc\: 45^{o}}

 

=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}

 

=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}

 

=\frac{1}{4}\times \frac{2}{\sqrt{2}}

 

=\frac{1}{2\sqrt{2}}\times \frac{2}{\sqrt{2}}

 

=\frac{1}{4}\sqrt{2}

 

  • \frac{2\left ( cos\: 60^{o} \right )^{2}+4(sec\: 30^{o})^{2}-(tan\: 45^{o})^{2}} {\left ( sin \: 30^{o} \right )^{2}+(cos\: 30^{o})^{2}}

 

=\frac{2\left ( \frac{1}{2}\right )^{2} + 4(\frac{2}{3}\sqrt{3})^{2}-(\frac{1}{2}\sqrt{2})^{2}} {(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2}\sqrt{3})^{2}}

 

=\frac{\frac{1}{2}+\frac{16}{3}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}

 

=\frac{\frac{16}{3}}{1}

 

=\frac{16}{3}

 

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Berbagai Kuadran

Untuk mengetahui perbandingan trigonometri sudut \alpha didefinisikan sebagai berikut:

  • \large sin \: \alpha = \frac{ordinat}{jarak} = \frac{y}{r}
  • \large cos \: \alpha = \frac{absis}{jarak} = \frac{x}{r}
  • \large tan \: \alpha = \frac{ordinat}{absis} = \frac{y}{x}
  • \large cosec \: \alpha = \frac{jarak}{ordinat} = \frac{r}{y}
  • \large sec \: \alpha = \frac{jarak}{absis} = \frac{r}{x}
  • \large cotan \: \alpha = \frac{absis}{ordinat} = \frac{r}{x}

 

  1. Sudut \alpha di kuadran I, jika \large 0^{o} \leq \alpha \leq 90^{o}
  2. Sudut \alpha  di kuadran II, jika \large 90^{o} \leq \alpha \leq 180^{o}
  3. Sudut \alpha  di kuadran III, jika \large 180^{o} \leq \alpha \leq 270^{o}
  4. Sudut \alpha di kuadran IV, jika \large 270^{o} \leq \alpha \leq 360^{o}

 

Tanda nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran sebagai berikut.

Perbandingan TrigonometriSudut di Kuadran
IIIIIIIV
\large sin \: \alpha++––
\large cos \: \alpha+––+
\large tan \: \alpha+–+–
\large csc \: \alpha++––
\large sec \: \alpha+––+
\large cotan \: \alpha+–+–

 

Contoh:

Diketahui titik P(-5, 12). Jika \large \angle XOP, maka tentukan sin \large \alpha, cos \large \alpha, dan tan \large \alpha

.Jawab:

\large r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}

 

\large r = \sqrt{-5^{2}+7^{2}}

 

\large r = \sqrt{25+144}

 

\large r = \sqrt{169}

 

\large r = 13
  • \large sin \: \alpha = \frac{y}{r} = \frac{12}{13}
  • \large cos \: \alpha = \frac{x}{r} = \frac{5}{13}
  • \large tan \: \alpha = \frac{y}{x} = \frac{12}{5}

 

Diktat Pembelajaran trigonometri dapat anda download  dengan mengklik Unduh Diktat Trigonometri

Kerjakan Soal latihan dibawah ini dengan benar

Comments

Post a Comment
© 2023 - Romahkuhijau
Romahkuhijau

Semua Masalah Pasti Ada Jalan Keluarnya

Featured Post

Followers

Widget Atas Posting

Widget HTML Produk

Widget HTML Jasa

Postingan Populer

Sekilas Tentang LinkMagz, Template Blogspot dengan Rasa Wordpress

  Linkmagz adalah nama template terbaru buatan mas sugeng, saya langsung kagum dengan template ini setelah beberapa saat lihat demonya, dan tanpa pikir panjang lagi saya memutuskan untuk mencaba dan sekaligus menggunakanya.  Mulai dari SEO Fast Blogger, terus diganti sama Viomagz dan sekarang diganti lagi sama LinkMagz.  Kalau menurut beberapa ahli, katanya gonta ganti Template tidak bagus bagi SEO.  Tapi menurut saya yang masih awam, apa salahnya ganti template kalau hasilnya jauh lebih baik?  Maka dari itu, saya gak sungkan-sungkan buat ganti Template. Alasan Memilih Template LinkMagz Ada cukup banyak alasan untuk segera memutuskan memilih template ini untuk menggantikan template blog lama saya, ini mungkin sangat subjektif. 1. Suka sama personal Mas Sugeng Suka disini bukan seperti itu, saya masih cowok normal kok hahaha, maksud saya adalah saya kagum dengan mas sugeng dan bagaimana persona nya membangun blognya. saya mengikuti mas sugeng dan tulisan tulisanya sejak beliau masih di
Image

2 Cara Membuat Sitemap (Daftar isi) Pada Blog

Pada Blogspot atau Blogger terdapat feed yang bisa digunakan sebagai sitemap ataupun daftar isi. Halaman peta situs atau yang dalam bahasa inggris disebut dengan sitemap adalah sebuah halaman yang berisi peta atau jalur menuju semua artikel yang ada pada sebuah blog. Halaman peta situs atau sitemap berfungsi untuk mempermudah navigasi didalam blog. Dengan halaman peta situs diharapkan pengunjung tidak “tersesat” ketika mengunjungi blog kita karena sudah memegang “peta”.  Halaman peta situs juga berfungsi mempermudah mesin pencari saat mengindeks artikel yang ada pada suatu blog, jadi peta situs juga berfungsi mengarahkan crawler dari mesin pencari agar tidak “tersesat” pada blog kita.  ungsi peta situs mirip dengan daftar isi pada buku. Dengan peta situs diharapkan pengunjung dapat menemukan dan mengakses seluruh artikel yang ada pada blog. Cara membuat halaman peta situs pada blogger atau blogspot sebenarnya sangat mudah. Kita cukup membuat script yang menampilkan semua judul artikel
Image

Evomagz (Green) Blogger Template V6.3

Ketika membuat sebuah blog yang professional memang harus memperhatikan sebuah tema atau template, agar pembaca atau pengunjung terasa nyaman pada saat membaca sebuah artikel yang sudah di publish pada blog yang telah dibuat. Untuk memilih template yang memiliki tampilan yang elegan, responsive, dan fast loading memang agak susah untuk dicari. Bahkan template premium pun ada yang loadingnya cukup berat, sehingga memakan waktu yang cukup lama pada saat membuka situs atau blog yang telah kita buat. Evomagz template blogger premium dari Mas Sugeng ini cukup legend dan terkenal hingga sekarang. Buat para blogger jaman old pasti sudah mengenal template premium yang satu ini, ini merupakan seri lama buatan mas sugeng yang masih mendapatkan update hingga tahun 2022.  Evomagz ini angkatan template Fastest magz yang dulunya sangat banyak dicari dan dipakai para blogger. Nah menariknnya Evomagz yang sudah rilis sejak dari tahun 2014 ini mendapatkan update terbaru pada tahun awal tahun 2022 yang
Image