sin (α + β) dan sin (α - β)

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada lingkaran sehingga OP = 1.
∠ POS = α + β
∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α
Untuk lebih detailnya, perhatikan diagram berikut

Dari segitiga OPS diperoleh
sin (α + β) = PS

PS = RS + PR dan RS = QT, dapat kita tulis
PS = QT + PR, akibatnya
sin (α + β) = QT + PR     .........................(1)

Dari segitiga OPQ diperoleh
PQ = sin β
OQ = cos β

Dari segitiga OQT dipeoleh
sin α = $\frac{QT}{OQ}$
QT = sin α . OQ
QT = sin α . cos β     ..............................(2)

Dari segitiga PQR diperoleh
cos α = $\frac{PR}{PQ}$
PR = cos α . PQ
PR = cos α . sin β     ..............................(3)

Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan
sin (α + β) = QT + PR
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai berikut :

Contoh 1
Tentukan nilai eksak dari sin 75°
Jawab :
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2
sin 75° = ¼√2 + ¼√6
sin 75° = ¼(√2 + √6)

cos (α + β) dan cos (α - β)

Rumus cos (α + β) dan cos (α - β) dapat kita tentukan dengan cara yang hampir sama seperti rumus sinus diatas. Namun, karena rumus sinus sudah kita peroleh, akan lebih mudah jika kita gunakan konsep sudut relasi kuadran I.

cos (α + β) = sin (90° - (α + β))
cos (α + β) = sin ((90° - α) - β)
cos (α + β) = sin (90° - α) cos β - cos (90° - α) sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β - sin α (-sin β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β


Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai berikut

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β 

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Contoh 2
Tentukan nilai eksak dari cos 105°
Jawab :
cos 105° = cos (60° + 45°)
cos 105° = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°
cos 105° = ½ . ½√2 - ½√3 . ½√2
cos 105° = ¼√2 - ¼√6
cos 105° = ¼(√2 - √6)

tan (α + β) dan tan (α - β)

Berdasarkan identitas rasio, tan θ = $\frac{sin\theta }{cos\theta }$, akibatnya

tan (α + β) = $\frac{sin(\alpha +\beta )}{cos(\alpha +\beta )}$
tan (α + β) = $\frac{sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta }{cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta }\times \frac{\frac{1}{cos\alpha cos\beta }}{\frac{1}{cos\alpha cos\beta }}$
tan (α + β) = $\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }$

Jika β diganti dengan -β, maka
tan (α + (-β)) = $\frac{tan\alpha +tan(-\beta )}{1-tan\alpha tan(-\beta )}$
tan (α + (-β)) = $\frac{tan\alpha -tan\beta }{1+tan\alpha tan\beta }$


Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi tangen sebagai berikut

tan (α + β) = $\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }$ 

tan (α - β) = $\frac{tan\alpha -tan\beta }{1+tan\alpha tan\beta }$

Contoh 3
Tentukan nilai eksak dari tan 15°
Jawab :
tan 15° = tan (45° - 30°)
tan 15° = $\frac{tan{45}^{\circ }-tan{30}^{\circ }}{1+tan{45}^{\circ }tan{30}^{\circ }}$
tan 15° = $\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}\times \frac{3}{3}$
tan 15° = $\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\times \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$
tan 15° = $\frac{12-6\sqrt{3}}{6}$
tan 15° = 2 - √3

Kesimpulan

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tan (α + β) = $\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }$
tan (α - β) = $\frac{tan\alpha -tan\beta }{1+tan\alpha tan\beta }$

Latihan Soal

Berikut beberapa contoh soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

Latihan 1
Diketahui cos α = 3/5 dan sin β = 5/13. Jika α adalah sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari sin (α - β) !

Jawab :
α lancip berarti α berada di kuadran I.
β tumpul berarti β berada di kuadran II.

cos α = 3/5  →  sin α = 4/5
sin α bernilai positif karena α berada di kuadran I.

sin β = 5/13  →  cos β = -12/13
cos β bernilai negatif karena β berada di kuadran II.

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
sin (α - β) = 4/5 . (-12/13) - 3/5 . 5/13
sin (α - β) = -48/65 - 15/65
sin (α - β) = -63/65


Latihan 2
Diketahui A, B dan C adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika tan A = 1/3 dan tan B = 1/2, tentukan nilai dari cos C !

Jawab :

tan A = 1/3  →  sin A = 1/√10  dan cos A = 3/√10
tan B = 1/2  →  sin B = 1/√5  dan cos B = 2/√5

A + B + C = 180°
C = 180° - (A + B)

cos C = cos (180° - (A + B))
cos C = -cos (A + B)
cos C = -(cos A cos B - sin A sin B)
cos C = -(3/√10 . 2/√5 - 1/√10 . 1/√5)
cos C = -(6/√50 - 1/√50)
cos C = -5/√50
cos C = -$\frac{1}{2}$√2


Latihan 3
Segitiga PQR siku-siku di P. Jika cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari sin Q + cos R !

Jawab :
Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°

cos (P + Q) = 2/3
cos (90° + Q) = 2/3
cos 90° cos Q - sin 90° sin Q = 2/3
0 . cos Q - 1 . sin Q = 2/3
0 - sin Q = 2/3
sin Q = -2/3

P + Q + R = 180°
90° + Q + R = 180°
R = 90° - Q

cos R = cos (90° - Q) = sin Q
diperoleh cos R = sin Q = -2/3

Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3


Latihan 4
Diketahui A - B = 30° dengan sudut A dan B lancip. Jika sin A cos B = 7/10, tentukan nilai sin (A + B) !

Jawab :
Karena A - B = 30°, maka
sin (A - B) = sin 30° = 1/2

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
1/2 = 7/10 - cos A sin B
cos A sin B = 7/10 - 1/2 = 1/5

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A + B) = 7/10 + 1/5
sin (A + B) = 9/10

Jadi, sin (A + B) = 9/10


Latihan 5
Diketahui α, β dan γ adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika cos γ = -4/√65 dan tan α + tan β = 7/6, tentukan tan α tan β !

Jawab :
γ = 180° - (α + β)
cos γ = cos(180° - (α + β)) = -cos (α + β)
Jadi, cos (α + β) = -cos γ = -(-4/√65) = 4/√65

cos (α + β) = 4/√65  →  sin (α + β) = 7/√65

tan (α + β) = sin (α + β) / cos (α + β)
tan (α + β) = (7/√65) / (4/√65)
tan (α + β) = 7/4

tan (α + β) = $\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }$
(1 - tan α tan β) . tan (α + β) = tan α + tan β
(1 - tan α tan β) . 7/4 = 7/6
(1 - tan α tan β) = 2/3
tan α tan β = 1 - 2/3 = 1/3

Jadi, tan α tan β = 1/3